$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \ge \frac{2}{1+ab}$ $(\bigstar)$$\Leftrightarrow (1+b^2)(1+ab)+(1+a^2)(1+ab) \ge 2(1+a^2)(1+b^2)$
$\Leftrightarrow 1+ab+b^2+ab^3+1+ab+a^2+a^3b \ge 2(1+a^2+b^2+a^2b^2)$
$\Leftrightarrow 2ab +ab(a^2+b^2) \ge a^2+b^2+2a^2b^2$
$\Leftrightarrow 2ab(1-ab)+(a^2+b^2)(ab-1) \ge 0$
$\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2 \ge 0$
$\color{red}{ \text{[ Ở đây, $ab \ge 1$ thì bất đẳng thức $(\bigstar)$ mới đúng.]}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ab=1$ hoặc $a=b.$