$ \left\{ \begin{array}{l} (4x^{2}+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0 \text{ . } (1) \\ 4x^{2}+y^{2} +2\sqrt{3-4x}=7\text{ . } (2)\end{array} \right.$Điều kiện: $x \le \frac{3}{4};y \le \frac{5}{2}.$
$(1)\Leftrightarrow 2x[(2x^2)+1]=\sqrt{5-2y}[(5-2y)+1]$ $(1')$
Xét $f(t)=t(t^2+1)=t^3+t,t \in \mathbb R,$ dễ thấy $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb R.$ Do đó:
$(1')\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2y}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 0 \\ 4x^2=5-2y \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 0 \\ y=\frac{5-4x^2}{2} \end{cases}$
Thay vào phương trình $(2)$ của hệ, ta được:
$4x^{2}+(\frac{5-4x^2}{2})^{2} +2\sqrt{3-4x}=7=g(x)$ $(0 \le x \le \frac{3}{4})$
Xét $g(x),0 \le x \le \frac{3}{4}$ dễ thấy $g(x)$ nghịch biến trên $0 \le x \le \frac{3}{4}$ nên PT $g(x)=7$ có không quá 1 nghiệm.
Mặt khác: $g(\frac{1}{2})=7$ nên PT $g(x)=7$ có nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=2.$