Cho $a,b,c$ là các số thực dương

Question

Chứng minh $ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b}+1$

score 0 · Answer 1

ab+bc+ca≥(a+b+c)2ab+bc+ca

Do đó ta cần c/m

(a+b+c)2ab+bc+ca≥a+bb+c+b+ca+b+1

⇔(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)ab+bc+ca≥(a+b)2+(b+c)2−2(a+b)(b+c)(a+b)(b+c)

⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)22(ab+bc+ca)≥(c−a)2(a+b)(b+c)(⋆)

mà

(a−b)2+(b−c)2=(c−a)2−2(a−b)(b−c)

(⋆)⇔(c−a)2−(a−b)(b−c)ab+bc+ca≥(c−a)2(a+b)(b+c)

⇔(c−a)2(a+b)(b+c)−(a2−b2)(b2−c2)≥(c−a)2(ab+bc+ca)

⇔(c−a)2.b2−(a2−b2)(b2−c2)≥0⇔b4+a2c2−2b2ac≥0

⇔(b2−ac)2≥0 (đúng)

⇒ đpcm

score 0 · Answer 2

Dùng S-S hoặc phép đặt $a=xb,c=yb$ rồi dùng AM-GM

?????????????????????? – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 15-09-15 04:01 PM

lạ hoắc :)) – tran85295 13-09-15 10:58 PM

2 Đáp án