Cực trị

Question

Cho

$a,b,c,d$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện

$a+b+c+d=3.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$

tran85295 · Answer 1 · 10/17/2015 9:17:25 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Áp dụng bđt Bunhia cho các số dương

$(a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a^3+b^3+c^3+d^3)^2(1)$

$(a^3+b^3+c^3+d^3)(a+b+c+d) \geq(a^2+b^2+c^2+d^2)^2(2)$

$(a^2+b^2+c^2+d^2).4 \geq (a+b+c+d)^2(3)$

....................................................

Từ

$(1),(2),(3)$

$\Rightarrow \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}\geq \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2} \geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d} \geq \frac{a+b+c+d}{4}$

$\Rightarrow P \geq \frac{3}{4}$

Trả lời 17-10-15 09:17 PM

tran85295
141 5

10M 559K

đã nói bài này có trong sách nâng cao mà ._. cách giải y đúc ._. – Lê Việt Tùng 17-10-15 11:37 PM

thank em – Thu Cúc 17-10-15 09:17 PM

tran85295 · Answer 2 · 10/17/2015 9:22:18 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

BĐT Tương CMN Đương

$\Leftrightarrow \frac{(a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2)}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)}=\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{(a^3+b^3+c^2+d^3)(a+b+c+d)}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}\geq \frac{\frac{(a+b+c+d)^2}{4}}{3}=\frac{3}{4}$

$a=b=c=d=3/4$

Lưu ý :

(1) có thể có nhiều cách khác nhanh hơn (tạm thời nhìn vô nghĩ ra cách này :v)

(2) mọi bước đều áo dụng BĐT Cauchy Schwarz cho tử số

By Khờ Đẹp Zai

lịch sử

Sửa 17-10-15 09:22 PM

tran85295
141 5

10M 559K

Trả lời 17-10-15 09:13 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K