TH1 $ \boxed{\min \{a,b,c,d \} > \frac 1{12}}$Có $\frac 1{1+3a^2} \ge \frac{52-48a}{49} \Leftrightarrow (2a-1)^2(12a-1) \ge 0$ (luôn đúng)
Tương tự với $b,c,d$ rồi cộng lại $\Rightarrow$ đpcm
TH2 $\boxed {\min \{a,b,c,d\} \le \frac 1{12}}$
Giả sử $d = \min \{a,b,c,d \}\Rightarrow d \in [0;\frac 1{12}]$
$\frac 1{1+3a^2}\ge \frac{-36x+45}{49}\Leftrightarrow (3x-2)^2(12x+1) \ge 0$ (luôn đúng)
Tương tự với $b,c$ rồi cộng lại, ta có
$VT \ge \frac{-36(a+b+c)+135}{49}+\frac{1}{1+3d^2}=\frac{-36(2-d)+135}{49}+\frac{1}{1+3d^2}$
$=\frac{108d^3+189d^2+36d+112}{(1+3d^2).49}$
Mà $=\frac{108d^3+189d^2+36d+112}{(1+3d^2).49} \ge \frac {16}7\Leftrightarrow d(36d^2-49d+12) \ge 0$ (đúng $\forall d \in [0\frac 1{12}]$)
$\Rightarrow đpcm$
Đẳng thức xảy ra khi $\boxed{a=b=c=d=\frac 12}$ ; $\boxed{a=b=c= \frac 23;d=0}$ hoặc các hoán vị