Bài này biến ra có đến $7$ cách nhưng e lm $1$ cách thôi nhá:A/d Bu.........., ta có:
$\sqrt{4(x^2+y^2+z^2)}\geq x+y+z+2$
$3(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}\leq (3x+3y)(\frac{x+y+4z}{2})\leq \frac{1}{2}[\frac{4(x+y+z)^2}{2}]=2(x+y+z)^2$
Tương tự: $3(y+z)\sqrt{(y+2x)(x+2x)}\leq 2(x+y+z)^2$
$\Rightarrow P\leq \frac{8}{x+y+z+2}-\frac{12}{2(x+y+z)^2}-\frac{15}{(x+y+z)^2}=\frac{8}{x+y+z+2}-\frac{27}{2(x+y+z)^2}$
Đặt $t=a+b+c>0$
$\rightarrow P\leq \frac{8}{t+2}-\frac{27}{2t^2}$
Xét hàm số $g(t)=\frac{8}{t+2}-\frac{27}{2t^2}$ có:
$\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} g'(t)=-\frac{8}{(t+2)^2}+\frac{27}{2t^3}\\ g'(t)=0 \end{array} \right.$
$\Rightarrow 27(t+2)^2-8t^3=0\Rightarrow t=6.$
Lập BBT $\Rightarrow $ max $P=\frac{5}{8}$ tại $a=b=c=2./$