$a^2+b^2=4\Leftrightarrow (a+b)^2-4=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{(a+b+2)(a+b-2)}{2}$thay vào, ta có $M=\frac{(a+b+2)(a+b-2)}{2(a+b+2)}=\frac{a+b-2}2$
Áp dụng BĐT Cauchy $a+b\le\sqrt{2(a^2+b^2)}=2\sqrt2\Rightarrow M\le\sqrt2-1$
Dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=\sqrt2$