Giả sử $u=\sqrt[6]{x}$, thế thì $x=u^6$ và do đó $dx=6u^5du$.Từ đó $I=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}\frac{(u^3-2)6u^5}{u^6+u^4}du$
$=6\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}\frac{(u^3-2)u}{u^2+1}du$
$=6\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}(u^2-1+\frac{1}{u^2+1}-\frac{2u}{u^2+1})du$
$=6[\frac{u^3}{3}-u+arctanu-ln(u^2+1)]|^{\sqrt{3}}_{1}$
$=4+\frac{\pi }{2}-6ln2$.