Gíup mình với nhé!BĐT

Question

Cho

$x;y;z>0$ và

$x+y+z=xyz$

CMR:

$\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

nhung · Answer 1 · 2/12/2016 11:39:10 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

gt

$\Rightarrow$

$\frac{1}{yz}$ +

$\frac{1}{xz}$ +

$\frac{1}{xy}$ =1

Đặt a=

$\frac{1}{x}$ ;b=

$\frac{1}{y}$ ;c=

$\frac{1}{z}$

$\Rightarrow$ ab+bc+ca=1

Xét VT=

$\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}$ +

$\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}$ +

$\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}$

AD BĐT Cauchy ta được:

$\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}$ =2a(

$\sqrt{\frac{1}{a+b}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{a+c}}$ )

$\leq$ 2a.

$\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}}{2}$ =

$\frac{a}{a+b}$ +

$\frac{a}{a+c}$ (1)

$\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}$ =2b(

$\sqrt{\frac{1}{b+a}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4(b+c)}}$ )

$\leq$

$\frac{b}{b+a}$ +

$\frac{b}{4(b+c)}$ (2)

tương tự:

$\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}$

$\leq$

$\frac{c}{c+a}$ +

$\frac{c}{4(c+b)}$ (3)

cộng theo vế của (1)(2)(3)

$\Rightarrow$ đpcm

dấu''='' xảy ra

$\Leftrightarrow$ a=

$\frac{7}{\sqrt{15}}$ ;b=c=

$\frac{1}{\sqrt{15}}$

Trả lời 12-02-16 11:39 PM

nhung
1

17K 38K

pro quá............. – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 13-02-16 08:21 AM

Hỏi	12-01-16 12:50 PM
Lượt xem	1202
Hoạt động	12-02-16 11:39 PM

Gíup mình với nhé!BĐT

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Gíup mình với nhé!BĐT

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan