c,ta chứng minh VP=cosAcosBcosC≤18(1)
thật vậy
(1)⇔[cos(A+B)+cos(A−B)]cos(A+B)+14≥0
⇔cos2(A+B)+cos(A+B)cos(A−B)+14cos2(A−B)+14[1−cos2(A−B)]⩾
\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0 (luôn đúng)
dấu bằng xảy ra khi \begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C
chứng minh tương tự ta được VT=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP
từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.
b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:
trước hết ta chứng minh
\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi )
thật vậy,
\forall x,y\in (0;\pi )
ta có
cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}
\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}
bây giờ ta chứng minh \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}
ta có
sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}
\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]
\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]
\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}
áp dụng thôi.
ta có VT =2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}
VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)
theo cô si có :
tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}
\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}
dấu bằng khi A=B=C
mà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.