Biến đổi: $\dfrac{x^{5}}{x^{2}+1}=x^{3}-x+\dfrac{x}{x^{2}+1}$ (chia đa thức)
$I=\int\limits_{0}^{1}\left[ x^{3}-x+\dfrac{x}{x^{2}+1}\right] dx=\int\limits_{0}^{1}(x^{3}-x)dx+\int\limits_{0}^{1}\dfrac{xdx}{x^{2}+1}$
$=\left( \dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{x^{2}}{2}\right)\left|\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\right. +\dfrac{1}{2}\ln (x^{2}+1)\left|\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\right.$
Đến đây chắc ổn rồi!