trước hết ta cm $u_{n}>-1\forall n\geq 1$
với n=1 thì u1=1>-1 đúng.
giả sử đúng tới n=k ta có $u_{k}>-1$
$\Leftrightarrow 2u_{k}>-2\Leftrightarrow u_{k}-4>-u_{k}-6\Leftrightarrow u_{k+1}=\frac{u_{k}-4}{u_{k}+6}>-1$
vậy n đúng tới k+1 ta đk đpcm.
nên ta cũng có $u_{n}^{2}+5u_{n}+4>0\forall u_{n}>-1 $
$\Leftrightarrow \frac{u_{n}-4}{u_{n}(u_{n}+6)}<1\Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1$
từ đó suy ra dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.
đặt $limu_{n}=a\Rightarrow limu_{n+1}=a$ ($a\geq -1)$ ( vì $u_{n}>1)$
từ hệ thức truy hồi ta có
$a=\frac{a-4}{a+6}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a =-1(tm)\\ a=-4(loại) \end{matrix}} \right.$
vậy $limu_{n}=-1$
đây là các bước hoàn chỉnh để tìm giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi.