Từ điều kiện đề bài suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}+3$.Từ đó suy ra
$VT:=[\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}]+[\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{4bc}]+[\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{c^2+a^2}{4ca}]+\frac{3}{4}$
$\geq \frac{15}{4}$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.