ai là người tìm ra cách giải cuối cùng cho bài toán này ?!?

Question

cho$ a,b,c \in R^{+}$...tìm min của :

$A=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+ab}}$

(mới tìm được 3 cách.!?)

phản chứng... cô-si...schawrt.........................................

Confusion · Answer 1 · 8/20/2016 9:14:33 PM

Cách 2:

$A=\Sigma \frac{\frac{a}{b}}{\sqrt{\frac{a}{b}+1}}\geq \frac{(\sqrt{\frac{a}{b}})^2}{\Sigma \sqrt{\frac{a}{b}+1}}$ $(1)$

Đặt $(x;y;z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})\rightarrow xyz=1$

Khi đó: $(1)\Leftrightarrow \frac{(\Sigma \sqrt{x})^2}{\Sigma \sqrt{x+1}}\geq \frac{\Sigma x+2\Sigma \sqrt{xy}}{\sqrt{3(\Sigma x+3)}}\geq \frac{\Sigma x+6}{..........}$

So that: $A\geq \frac{S+3}{\sqrt{3S}}(S=\Sigma x+3\geq 6)$

Mà: $\sqrt{S}+\frac{3}{\sqrt{S}=\frac{\sqrt{S}}{2}}+(\frac{\sqrt{S}}{2}+\frac{3}{\sqrt{S}})\geq \frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{S+3}{\sqrt{3S}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Đẳng thức khi $a=b=c./$

Trả lời 20-08-16 09:14 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

Confusion · Answer 2 · 8/20/2016 9:15:03 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

Cách 1:

$AM-GM:\sqrt{2b(a+b)}\leq \frac{a+3b}{2}$

Do đó: $A\geq \Sigma \frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}$

$\rightarrow $ Ta chứng minh: $S=\Sigma \frac{a}{a+3b}\geq \frac{3}{4}$

hay $S=\Sigma \frac{a^2}{a^2+3ab}\geq \frac{3}{4}$

$Cauchy-Schwarz:$

$S\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+\frac{8}{3}(ab+bc+ca)+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2)+\frac{8}{3}(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{3}(a+b+c)^2}=\frac{3}{4}$

Do đó: $A\geq 2\sqrt{2}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Đẳng thức khi $a=b=c./$

lịch sử

Sửa 20-08-16 09:15 PM