với x>0 phương trình tương đương
$2^{x+\sqrt{x^{2}+1}}log_{2}(x+\sqrt{x^{2}+1})=2^{3x}log_{2}3x$
đặt $f(t)=2^{t}log_{2}t$ (t>0)
$f'(t)=2^{t}(ln2.log_{2}t+\frac{1}{tln2})$
nếu t$\geq 1$ thì $f'(t)>0$
nếu 0<t<1 ta xét $g(t)=\frac{f'(t)}{2^{t}}=ln2.log_{2}t+\frac{1}{tln2}$
$g'(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}ln2}=\frac{t^{2}ln2-t}{t^{3}ln2}<0$
nên $g(t) $ nghịch biến suy ra $g(t)>g(1)=\frac{1}{ln2}>0\Rightarrow f'(t)>0$
từ đó suy ra $f(t)$ đồng biến $\forall t>0$
mà $f(x+\sqrt{x^{2}+1})=f(3x)\Rightarrow \sqrt{x^{2}+1}=2x$
dễ dàng giải pt này ta được nghiệm $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$