$\color{green}{4^{\sin x}-2^{(1+\sin x)}. \cos xy+2^{|y|}=0}$

Question

Tìm

$x, y$ thoả mãn :

$4^{\sin x}-2^{(1+\sin x)}. \cos xy+2^{|y|}=0$

score 29 · Answer 1

Đặt

$t=2^{\sin x}$ thì PT đã cho

$\Leftrightarrow t^2-2t \cos xy +2^{|y|}=0$

$\Leftrightarrow t^2-2t \cos xy +\cos^2 xy=\cos^2 xy-2^{|y|}$

$\Leftrightarrow \left ( t-\cos xy \right )^2=\cos^2 xy-2^{|y|} (*)$ .
Từ PT cuối này ta suy ra

$\cos^2 xy \ge 2^{|y|}$ .
Mặt khác

$\begin{cases}\cos^2 xy \le 1\\ 2^{|y|} \ge 1 \end{cases} \forall x,y.$
Do đó ta phải có

$\cos^2 xy=2^{|y|}=1 \Leftrightarrow y=0$ .
Lúc đó từ

$(*) \Rightarrow t =\cos xy =1$ (do

$t>0$ )

$\implies 2^{\sin x}=1 \implies \sin x=0 \implies x = k\pi (k \in \mathbb{Z})$ .
Vậy PT đã cho có nghiệm

$(x;y)=(k\pi;0) (k \in \mathbb{Z})$ .

1 Đáp án