Vì a≥1 nên y=√a+cosx+√a+sinx≥0 với mọi xϵR=> z=y2=2a+cosx+sinx+2√a2+a(sinx+cosx+sinxcosx)
Đặt t=sinx+xosx=√2sin(x+π4),|t|≤√2
=> t2=1+2sinxcosx
<=> sinxcosx=t2−12
=> z=2a+t+√2√(t+a)2+a2−1
1) Nếu a=1 thì z=2+t+√2.(t+1)2 ≥ 2+t
Dấu "=" xảy ra khi t+1=0 <=> t=-1
2) Nếu a>1 thì z'=\frac{1+\sqrt{2}(t+a)}{\sqrt{(t+a)^2+a^2-1}} xác định với mọi t
a) t+a \ge 0 <=> t \ge -a <=> z'=0 vô nghiệm
b) t+a <0<=> t<-a <=> z'=0
<=> 1+\frac{\sqrt{2}(t+a)}{\sqrt{(t+a)^2+a^2-1}}=0
<=> \sqrt{(t+a)^2+a^2-1}=-\sqrt{2}(t+a)
<=> (t+a)^2=a^2-1
<=> t=-a+\sqrt{a^2-1} >-a (loại) hoặc t=-a-\sqrt{a^2-1}
+) Giả sử -a-\sqrt{a^2-1} \le \sqrt{2}
=> a \ge \frac{3\sqrt{2}}{4}
=> z' \ge 0 khi t<-\sqrt{2}, chứng tỏ hàm đồng biến trên [-\sqrt{2};\sqrt{2}]
=> \mathop {min }\limits_{|t| \le \sqrt{2}} z=z(-\sqrt{2})
=> \mathop {min }\limits_{|t \le \sqrt{2}} y =y(-\sqrt{2})=\sqrt{4a-2\sqrt{2}}
+) Giả sử -\sqrt{2} \le -a-\sqrt{a^2-1} \le \sqrt{2}
=> 1 \le a \le \frac{3\sqrt{2}}{4}
Trường hợp này ta có bàng biến thiên:
........................................................
\mathop {min }\limits_{|t| \le \sqrt{2}}z=z(-a-\sqrt{a^2-1}=a+\sqrt{a^2-1}
=> \mathop {min }\limits_{|t| \le \sqrt{2}}y=\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}
Kết luận: Nếu 1 \le a \le \frac{3\sqrt{2}}{4}: min y= \sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}