Hệ ptr

Question

\left\{

$\begin{array}{l} x(x+2y-y^2)=y^3(1-y)\\ x(x^2+3xy+y^4)=y^3(2-y^2-y^3) \end{array}$ \right.

score 7 · Answer 1

Giả sử

$u=x+y$ và

$v=y^2$ với

$v\geq0$ .

Bằng một vài phép biến đổi thì được hệ

$\left\{ \begin{array}{l} (x+y)^2-(x+y)y^2+y^4=y^2\\ (x+y)^3+(x+y)y^4+y^6=3(x+y)y^2 \end{array} \right.$ ;

hay

$\left\{ \begin{array}{l} u^2-uv+v^2=v\\ u^3+uv^2+v^3=3uv \end{array} \right.$ (1).

Suy ra

$u^3+uv^2+v^3=3u(u^2-uv+v^2)$ ;

hay

$2u^3-3u^2v+2uv^2-v^3=0$ ;

hay

$(u-v)(2u^2-uv+v^2)=0$ ;

hay

$u-v=0$ ; suy ra

$u=v$ .

Với kết quả trên, (1) tương đương với

$u=v=0$ hoặc

$u=v=1$ .

Với

$u=v=0$ thì được

$x+y=0\wedge y^2=0$ ; suy ra

$x=0\wedge y=0$ .

Với

$u=v=1$ thì được

$x+y=1\wedge y^2=1$ ; suy ra

$x=0\wedge y=1$ hoặc

$x=2\wedge y=-1$ .

Thành thử, hệ đã cho có ba nghiệm, đó là

$(0;0)$ ,

$(0;1)$ ,

$(2;-1)$ .

Nhưng mà hình như mình phải nói thêm truờng hợp:

$2u^2-uv v^2=0$ vô nghiệm(dẫn tới 1 điều vô lý) – Toán Cấp 3 15-05-16 10:36 AM

Chân thành cảm ơn bạn rất nhiều. – Toán Cấp 3 15-05-16 08:52 AM

1 Đáp án