Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình $x^2 + y^2 = z^2 $? có
những nghiệm hiển nhiên, như $3^2 + 4^2 = 5^2$. Và cách đây hơn$ 2300$ năm,
Euclide đã chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm. hiển nhiên
vấn đề sẽ không đơn giản như thế nếu các hệ số và số mũ của phương trình
này phức tạp hơn… Người ta cũng biết từ $30$ năm nay rằng không có phương
pháp chung nào cho phép tìm ra số các nghiệm nguyên của các phương
trình dạng này. Tuy nhiên, đối với nhóm phương trình quan trọng nhất có
đồ thị là các đường cong êlip loại $1,$ các nhà toán học người Anh Bryan
Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu những năm 60 đã đưa ra giả thuyết
là số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào một hàm số f: nếu hàm số f
triệt tiêu tại giá trị bằng $1$ (nghĩa là nếu $f(1)= 0$), phương trình có vô
số nghiệm. nếu không, số nghiệm là hữu hạn.
Giả thuyết nói như thế, các nhà toán học cũng nghĩ vậy, nhưng đến giờ chưa ai chứng minh được…