số nguyên tố

Question

Với $p, q$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ . Chứng minh rằng :

$p^{4}-q^{4}$ chia hết cho $240$ .

score 5 · Answer 1

Vì

$p,q>5$ là các số nguyên tố nên

$p,q$ cùng lẻ. Suy ra

$p^2-q^2$ chia hết cho

$8$ và

$p^2+q^2$ chia hết cho

$2$ . Suy ra

$p^4-q^4$ chia hết cho

$16$ .

Vì

$p,q>5$ là các số nguyên tố nên

$(p;3)=(q;3)=1$ . Suy ra

$p^2-1$ và

$q^2-1$ cùng chia hết cho

$3$ . Suy ra

$p^2-q^2=(p^2-1)-(q^2-1)$ chia hết cho

$3$ . Từ đó

$p^4-q^4$ chia hết cho

$3$ .

Vì

$p,q>5$ là các số nguyên tố nên

$(p;5)=(q;5)=1$ . Suy ra

$p^4-1$ và

$q^4-1$ cùng chia hết cho

$5$ . Suy ra

$p^4-q^4=(p^4-1)-(q^4-1)$ chia hết cho

$5$ .

Vậy

$p^4-q^4$ chia hết cho

$240$ .

1 Đáp án