Gọi $a$ là 1 giá trị của biểu thức trên, khi đó pt sau phải có nghiệm $x:$ $a=\frac{2x+m}{x^2+1}\Leftrightarrow ax^2-2x+a-m=0$ $(1)$
+) $a=0$ là 1 giá trị của biểu thức.
+) $a\neq 0,$ thì $(1)$ là tam thức bậc 2, có nghiệm khi và chỉ khi:
$1-a(a-m)\geq 0\Rightarrow a^2-ma-1\leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{m-\sqrt{m^2+4}}{2}\leq a\leq \frac{m+\sqrt{m^2+4}}{2}$
Do đó max = $\frac{m+\sqrt{m^2+4}}{2}$ đạt được khi $a=\frac{m}{2}$
$\rightarrow $ Bài toán trở thành:
$\frac{m+\sqrt{m^2+4}}{2}=2\Leftrightarrow \sqrt{m^2+4}=4-m$
$\left\{ \begin{array}{l} m<4\\ m^2+4=16-8m+m^2 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}.$
Vậy $m=\frac{3}{2}$ thỏa mãn./