Mn ủng hộ , tạm 10 câu đã hì hì

Question

Câu 1 : Cho x,y,z,a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{\left ( a+x \right )\left ( b+y \right )\left ( c+z \right )}$

Câu 2: Cho hai số dương a,b thoả mãn

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ .Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức

Q= $\frac{1}{a^{4}+b^{2}+2ab^{2}}+\frac{1}{b^{4}+a^{2}+2ba^{2}}$

Câu 3:Cho $x>0;y>0 và x=y \leq 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A= $\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{y^{2}+xy}$

Câu 4 : Cho 2 số thực x,y thoả mãn : $x^{2}+y^{2}\leq x+y$ . Chứng minh rằng $x+y\leq 2$

Câu 5:Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thoả mãn $4x^{2}+3\left ( y^{2}+z^{2} \right )+6xyz=4$

Chứng minh rằng : $2x+\sqrt{3}\left ( y+z \right )\leq 3$

Câu 6: Cho x, y là hai số dương thay đổi . tìm GTNN của biểu thức :

P= $\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$

Câu 7: Cho a,b,c >0 . CMR:

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Câu 8:Cho a,b là các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 . CMR:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Bài 9 : Cho $x\geq 2$ . Tìm GTLN của biểu thức :

B= $-x+\sqrt{x-2}+2\sqrt{x+1}+2014$

Bài 10 : Cho a,b,c >0 và a+b+c =1 CMR:

$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}<5$

Confusion · Answer 1 · 6/6/2016 12:31:12 AM

Bình chọn tăng 13 Bình chọn giảm

Câu 5:

Cần c/m:

$a+b+c\leq 3$ với

$a^2+b^2+c^2+abc=4$

Bắt đầu từ BĐT cơ bản sau:

$\Sigma a^2+2abc+1\geq 2(\Sigma ab)(*)$

Ta có:

$2\Sigma a^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$

$\rightarrow (a+b+c)^2\leq 4.2+1=9\Rightarrow ...........đpcm$

Chứng minh (*)

G/s trong 3 số có ít nhất 2 số cùng

$\geq 1$ hoặc

$\leq 1$

Cho

$(a-1)(b-1)\geq 0$

Xét hiệu:

$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$

$=(c-1)^2+(a-b)^2+2c(a-1)(b-1) \geq 0$ (lđ)

( do

$a,b,c$ là các số ko âm)

Vậy (*) đc c/m!

lịch sử

Sửa 06-06-16 12:31 AM

Confusion
851 1 7

164K 882K

Trả lời 05-06-16 10:41 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

gõ quá chậm @@ – Confusion 05-06-16 10:42 PM

Băng · Answer 2 · 6/5/2016 8:27:42 PM

Bình chọn tăng 13 Bình chọn giảm

Câu 9

$B=-x+\sqrt{x-2}+2\sqrt{x+1}+2014=\sqrt{\left ( x-2 \right )1}-x+2\sqrt{x+1}+2014\leq \frac{x-2+1}{2}-x+2\sqrt{x+1}+2014=\frac{-x}{2}+2\sqrt{x+1}+2014-\frac{1}{2}=\frac{-1}{2}\left ( x +1-4\sqrt{x+1}+4\right )+2016=\frac{-1}{2}\left ( \sqrt{x+1} -2\right )^{2}+2016\leq 2016$

Dấu"=" xảy ra khi

$\begin{cases}x-2=1 \\ \left ( \sqrt{x+1}-2\right )^{2}=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x=3$

Vậy max B=2016 khi và chỉ khi x=3

Trả lời 05-06-16 08:27 PM

Băng
525 8

40K 224K

cách này hơi dài.cách dark đã làm ngắn hơn đó em – Băng 05-06-16 08:32 PM

Dark · Answer 3 · 6/4/2016 10:41:26 PM

Bình chọn tăng 13 Bình chọn giảm

Cần trả +1vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 04-06-16 10:41 PM

Dark
74 2

1899M 632K

Uk, vui thật chứ bộ :]] – Dark 04-06-16 11:02 PM

à ko e thấy vui vui :v – tran85295 04-06-16 11:00 PM

Hỏi Khờ ấy, mà hack làm gì, danh vọng có thừa, vàng thì k thiếu – Dark 04-06-16 10:55 PM

chỉ e hack với ạ :)) – tran85295 04-06-16 10:52 PM

holly shit, sr nhé – Dark 04-06-16 10:48 PM

Bloody's Rose · Answer 4 · 6/5/2016 6:03:43 PM

Bình chọn tăng 16 Bình chọn giảm

Cần trả +500vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Sửa 05-06-16 06:03 PM

Bloody's Rose
281 3

142K 705K

Trả lời 04-06-16 09:24 PM

Bloody's Rose
281 3

142K 705K

ok em.vội quá nên nhầm:)) – Bloody's Rose 05-06-16 06:04 PM

c ơi e lại phát hiện c sai 1 chỗ nữa – ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄ 05-06-16 11:36 AM

ờ.sr em nha – Bloody's Rose 04-06-16 11:49 PM

cái trên cùng fai dấu cộng chứ ạ s lại là nhân – ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄ 04-06-16 11:43 PM

sao em:D – Bloody's Rose 04-06-16 11:02 PM

c Nhung c bị nhầm 1 chỗ – ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄ 04-06-16 10:56 PM

haha đi hỏi dò – ☼SunShine❤️ 04-06-16 09:56 PM

8 nha bà – Bloody's Rose 04-06-16 09:37 PM

cau mấy đây bà? – Confusion 04-06-16 09:33 PM

tran85295 · Answer 5 · 6/4/2016 10:41:45 PM

Bình chọn tăng 13 Bình chọn giảm

6.

$P=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy})$

$=(x+y)^{2}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\right)$

$\geq (x+y)^{2}\left(\frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{\frac{(x+y)^{2}}{2}}\right)=6$

dấu "="

$\Leftrightarrow x=y$

9.

Ta có

$(2\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2})^2 \le (2^2+1^2)(2x-1)=5(2x-1) \overset{BDTD}{\le} (x+2)^2$

$\Rightarrow 2\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2} -x\le 2$

$\Leftrightarrow \max B=2016$

lịch sử

Sửa 04-06-16 10:41 PM

tran85295
141 5

10M 559K

Trả lời 04-06-16 09:23 PM

Nguyễn Nhung
76 3

84K 562K

Cho ké câu 9 – tran85295 04-06-16 10:46 PM

Nguyễn Nhung · Answer 6 · 6/4/2016 9:15:28 PM

Bình chọn tăng 13 Bình chọn giảm

Cần trả +1,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 04-06-16 09:15 PM

Nguyễn Nhung
76 3

84K 562K

10 đó bà – Nguyễn Nhung 04-06-16 09:35 PM

câu mấy zợ? – Confusion 04-06-16 09:34 PM

Bloody's Rose · Answer 7 · 6/5/2016 10:05:21 AM

Bình chọn tăng 17 Bình chọn giảm

Cần trả +500vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Sửa 05-06-16 10:05 AM

Bloody's Rose
281 3

142K 705K

Trả lời 04-06-16 09:11 PM

Bloody's Rose
281 3

142K 705K

đó là lí do t ns cần là 3 cạnh tam giác – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 08-07-16 11:40 PM

TH1 có đúng đâu, xét 1;1;3 đi – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 08-07-16 11:39 PM

lm luôn đi nam:D – Bloody's Rose 05-06-16 06:05 PM

mà dùng từ "thừa số" là ko đúng nha :))) – tran85295 05-06-16 10:35 AM

bài này chuẩn hóa thì làm gọn hơn nhiều – tran85295 05-06-16 10:34 AM

sửa r nha:D – Bloody's Rose 05-06-16 10:05 AM

lười k xét.thông cảm.đừng khiếu nại nha:)) – Bloody's Rose 05-06-16 09:44 AM

xét 3 TH thì BĐT vẫn luôn đúng mà – Bloody's Rose 05-06-16 09:43 AM

k biết có nên khiếu nại k :))) – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 05-06-16 05:47 AM

3 phân thức chưa dương nhé, k Cauchy đc – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 05-06-16 05:47 AM

ko p vậy ak? ==" – Confusion 04-06-16 11:11 PM

tại câu nào cũng thấy hỏi kiểu ng mù dò đường :3 – ☼SunShine❤️ 04-06-16 11:09 PM

==" bà bị cái rỳ vậy? hỏi vậy thì sao? – Confusion 04-06-16 10:35 PM

hahaaaaa – ☼SunShine❤️ 04-06-16 09:57 PM

7 nha bà – Bloody's Rose 04-06-16 09:36 PM

câu mấy vậy? – Confusion 04-06-16 09:35 PM

Nguyễn Nhung · Answer 8 · 6/4/2016 9:34:19 PM

Bình chọn tăng 14 Bình chọn giảm

2.

$Q \leq \frac{1}{2a^{2}b+2ab^{2}}+\frac{1}{2ab^{2}+2a^{2}b}=\frac{1}{ab(a+b)}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2 \Rightarrow a+b=2ab$

$\Rightarrow Q\leq \frac{1}{2a^{2}b^{2}}$

$(a+b)^{2}\geq 4ab \Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq2(a+b) \Leftrightarrow a+b\geq2$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{2}{ab} \Leftrightarrow 2\geq \frac{2}{ab}$

$\Rightarrow ab \geq1$

$\Rightarrow Q \leq \frac{1}{2}$

dấu "="

$\Leftrightarrow a=b=1$

lịch sử

Sửa 04-06-16 09:34 PM

Nguyễn Nhung
76 3

84K 562K

Trả lời 04-06-16 09:11 PM

Nguyễn Nhung
76 3

84K 562K

@@ tha cho chị @@ – Confusion 04-06-16 09:47 PM

mấy c cứ lm đi cho mem nhiu cách giải – ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄ 04-06-16 09:42 PM

sao tui bt – Nguyễn Nhung 04-06-16 09:40 PM

sao tui xem đc zợ? – Confusion 04-06-16 09:36 PM

c ơi sửa lại chỗ kia – ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄ 04-06-16 09:34 PM

tran85295 · Answer 9 · 6/4/2016 8:58:56 PM

1 Ta có

$3=\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}+\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}$

$\ge 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}+3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz})^3 \le(a+x)(b+y)(c+z)$ (ok)

2

$\color{red}{Q = \frac{1}{a^4+b^2+ab^2+ab^2}+\frac{1}{b^4+a^2+a^2b+a^2b} \overset{AM-GM}\le \frac{1}{4a^2b^2}+\frac1{4a^2b^2}\\\Leftrightarrow \sqrt{2Q} \le\frac{1}{ab} \le 1 \Leftrightarrow Q \le \frac 12}$

3

$A\ge \frac{4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{(x+y)^2} \ge 4$

4.

$\color{red}{x+y \ge x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}2 \Leftrightarrow x+y \le 2}$

5. Đặt

$2x=a,\sqrt 3y=b,\sqrt 3z=c$

$\Leftrightarrow 4=a^2+b^2+c^2+abc$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}+\left(\frac{b}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{2} \right )^{2}+2.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}.\frac{c}{2}=1$

$\Rightarrow$ tổn tại tam giác

$ABC$ sao cho