$bài 1:cho: a,b,c>0$ $a,t/m:a+b+c=3:CM:\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}\frac{1}{2+c^2+a^2}\leq \frac{3}{4}$ $b,CM:\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ac}}\leq \frac{3}{4}$ $c,CM:\frac{1}{(a+b)^2}+

Question

$bài 1:cho: a,b,c>0$

$a,t/m:a+b+c=3:CM:\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}\frac{1}{2+c^2+a^2}\leq \frac{3}{4}$

$b,CM:\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ac}}\leq \frac{3}{4}$

$c,CM:\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(a+c)^2}\geq \frac{1}{a^2+bc}$

$d,CM:\Sigma \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \frac{3}{a^2+b^2+c^2}$

$e,CM:\Sigma \frac{a+b}{c^2+ab}\leq \frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$

ô,thế quỳnh này k phải là cái đứa quỳnh mun à?
-_______-'' đổi avatar liên tục lại còn đổi tên thì nhớ = ....à

score 8 · Answer 1

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+b^2+2}\right) \ge \frac 34 \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2} \ge \frac 32$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2}+\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2} \ge 3$

Giả sử $a\ge b \ge c$

Dùng cauchy-schwarz $\sum_{cyc}\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2} \ge \frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$

$\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2} \ge \frac{(a-b+b-c+a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3}=\frac{2(a-c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$

Do đó chỉ cần cm $\frac{2(a+b+c)^2+2(a-c)^2}{a^2+b^2+c^2+3} \ge 3\Leftrightarrow (a-b)(b-c) \ge 0$ (luôn đúng)

score 8 · Answer 2

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

c) BDT này không khó

$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{\left(1+\dfrac{b}{a} \right)^2}+\frac{1}{\left(1+\dfrac{c}{a} \right)^2} \ge \frac{1}{1+\dfrac{b.c}{a.a}}$

Đặt $\frac ba=x,\frac ca=y$

$VT=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2} \ge \frac{1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2(y^2+1)} \ge \frac{1}{xy+1}$

lịch sử

mình k hiểu khi biến đổi tương đương ra dưới mẫu lại thành 1 cộng b^2/a – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 07-07-16 07:57 AM

score 8 · Answer 3

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

b) cần có những đánh giá chặt chẽ để bdt ko đổi chiều

$\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}} \le \frac{a+b}{2c+3(a+b)}\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}$ (đúng theo AM-GM)

cmtt cho 2 phân thức còn lại

bh ta cm $\sum \frac{a+b}{2c+3(a+b)} \le \frac 34\Leftrightarrow \sum\left(1-\frac{a+b}{2c+3(a+b)} \right) \ge \frac 94$

$\Leftrightarrow \sum\frac{4(a+b+c)}{2c+3(a+b)} \ge 9$

$\Leftrightarrow \left(\sum (2c+3(a+b)\right).\sum\frac{1}{2c+3(a+b)} \ge9$

bdt cuối đã quá quen thuộc

cái dòng tương đương thứ 2 từ dưới lên đáng lẽ trên tử phải là 8(a b c) chứ – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 07-07-16 08:00 AM

bạn ơi,tại sao cái dòng 4 vế cuối tại sao bạn lại nghĩ đc lấy 1 trừ đi để lm j nhỉ? – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 07-07-16 07:21 AM

Aerialace · Answer 4 · 7/6/2016 4:51:03 PM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

e) thiết nghĩ bdtd cũng là 1 cách hay

$bdt\Leftrightarrow \sum_{cyc} \left( \frac{1}{c}-\frac{a+b}{c^2+ab}\right) \ge0$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{c^2+ab-c(a+b)}{a(a^2+bc)} \ge0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-c)(b-c)}{c(c^2+ab)}-\frac{(a-b)(b-c)}{b(b^2+ac)}+\frac{(a-c)(a-b)}{c(a^2+bc)} \ge0$

$\Leftrightarrow \frac{[(a-b)+(b-c)](b-c)}{c(c^2+ab)}-\frac{(a-b)(b-c)}{b(b^2+ac)}+\frac{[(a-b)+(b-c)](a-b)}{a(a^2+bc)} \ge0$

$\Leftrightarrow \frac{(b-c)^2}{c(c^2+ab)}+\frac{(a-b)^2}{c(a^2+bc)}+(a-b)(b-c) \left[ \frac{1}{c(c^2+ab)}-\frac{1}{b(b^2+ac)}+\tfrac{1}{a(a^2+bc)}\right] \ge0$

Bất đẳng thức trên đúng nếu ta giả sử $a \ge b \ge c$

Trả lời 06-07-16 04:51 PM

Aerialace
46 1

112K 41K

Aerialace · Answer 5 · 7/6/2016 5:18:18 PM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

d) Bài này mình nghĩ phải có đk $xyz \ge 1$ hoặc chặt hơn là $a^2+b^2+c^2=3$ thì mới đúng

Ta có $(x^5+y^2+z^2)(yz+y^2+z^2) \ge (\sqrt{x^5yz}+y^2+z^2)^2 \ge (x^2+y^2+z^2)^2$

thiết lập tt ta có $VT \le \sum\frac{yz+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2} \le \sum \frac{\frac{y^2+z^2}{2}+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}=\frac{3}{x^2+y^2+z^2}$

Trả lời 06-07-16 05:18 PM

Aerialace
46 1

112K 41K