khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Question

chóp

$S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh

$a$

$SD=\frac{3a}{2}$ hình chiếu vuông góc của

$S$ lên mặt phẳng dáy là trung điểm cạnh

$AB$ . Tính khoảng cách từ điểm

$A$ tới mặt phẳng

$(SBD)$

tran85295 · Answer 1 · 7/31/2016 10:32:27 AM

Gọi H là trung điểm

$AB \Rightarrow SH \perp (ABCD)$

Ta tính được :

$HD=\sqrt{AH^{2}+AD^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

$SH=\sqrt{SD^{2}-HD^{2}}=\sqrt{\frac{9a^{2}}{4}-\frac{5a^{2}}{4}}=a^{2}$

Ta có :

$\frac{d_{(A;(SBD))}}{d_{(H;(SBD))}}=\frac{AB}{HB}=2$

$\Rightarrow d_{(A;(SBD))}=2.d_{(H;(SBD))}$

Kẻ

$HK \perp BD \Rightarrow HK // AC$

mà H là trung điểm

$AB \Rightarrow HK = \frac{OA}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Kẻ

$HI \perp SK$

Ta có :

$\left\{ \begin{array}{l} BD \perp HK\\ BD \perp SH \end{array} \right.\Rightarrow BD \perp (SHK)$

$\Rightarrow BD \perp IH$ , mà

$IH \perp SK \Rightarrow IH \perp (SBD)$

$\Rightarrow d_{(H;(SBD))}=HI$

Xét

$\Delta SHK$ có :

$\frac{1}{HI^{2}}=\frac{1}{SH^{2}}+\frac{1}{HK^{2}}$

$\Rightarrow HI=\frac{a}{3}\Rightarrow d_{(A;(SBD))}=\frac{2a}{3}$

1 Đáp án