cực đại cực tiểu của hàm số

Question

tìm

$m = ?$ sao cho

$y = -x^{3} + 3 m x^{2} + 3(1- m^{2} )x + m^{3} - m$ có cực đại cực tiểu nằm về một phía của

$y = 1$

score 2 · Answer 1

Hàm số đã cho xác định với mọi $x\in R$ và $y=-(x-m)^3+3(x-m)+2m$ . Từ đó suy ra $y'=-3[(x-m)^2-1],\forall x\in R$ . Suy ra $y'=0$ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, đó là $x_{1}=-1+m$ và $x_{2}=1+m$ .

Suy ra $y_{CT}=y(x_{1})=2m-2$ và $y_{CĐ}=y(x_{2})=2m+2$ . Từ đó có tọa độ của điểm cực tiểu và cực đại lần lượt là $(-1+m;2m-2)$ và $(1+m;2m+2)$ .

Do đó, điều kiện để hai điểm cực trị nằm về cùng một phía của đường thẳng $y-1=0$ là $(2m-2-1)(2m+2-1)>0$ , hay $(2m-3)(2m+1)>0$ ; suy ra $m>\frac{3}{2}\vee m<-\frac{1}{2}$ .