My friend's solution
Nếu tồn tại 1 trong 3 số $a,b,c$ có giá trị là $0$ thì bdt là hiển nhiên
Trong trường hợp còn lại, đặt $a,b,c \longrightarrow \left(\frac{1}{x};\frac 1y;\frac 1z \right)$
dpcm $\Leftrightarrow \sum_{x,y,z}\frac{x^2y^2}{(x+y)^2} \ge \frac{3\sqrt{3(xy+yz+zx)^5}}{4(x+y+z)^3}$
Áp dụng bdt Cauchy-Schwarz, $VT \ge \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}$
Nên chỉ cần chứng minh $4(x+y+z)^6 \ge 27(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)^2(xy+yz+zx)$
Tuy nhiên dễ dàng thấy nó đúng theo $AM-GM$
BDT được chứng minh hoàn toàn