Xét n là số tự nhiên và n≥3.
Từ công thức khai triển nhị thức Newton suy ra: (1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+...+Cnnxn,∀x∈R..
Lấy đạo hàm theo biến x cả hai vế thì được:
n(1+x)n−1=C1n+2C2nx+3C3nx2...+nCnnxn−1,∀x∈R.
Cho x=1 thì được:
n2n−1=C1n+2C2n1+3C3n...+nCnn.
Suy ra:
C1n+2C2n1+3C3n...+nCnnn=2n−1 (1).
Mời bạn đọc tự chứng minh điều sau (bằng quy nạp):
2n−1<n! (2).
Từ (1) và (2) suy ra:
C1n+2C2n1+3C3n...+nCnnn<n!