Dễ dàng tìm dc x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1hay x_{n+1}+1=(x_n+1)(x_n+2)
\Leftrightarrow \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_n+2}\Leftrightarrow \frac{1}{x_n+2}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}
\Rightarrow y_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i+2}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{x_i+1}-\frac{1}{x_{i+1}+1}\right)=\frac 12-\frac 1{x_{n+1}+1}
Vì x_{n+1}-x_n=(x_n+1)^2 >0 \forall n=1,2,...\Rightarrow x_n là dãy tăng
Giả sử \lim x_n=\rm L\Rightarrow L=L^2+3L+1\Rightarrow L=-1(vô lí)
Vậy x_n tăng và ko bị chặn \Rightarrow \lim x_n=+\infty
Từ đó ta có \lim y_n=\lim\left(\frac 12-\frac{1}{x_{n+1}+1}\right)=\frac 12