Mời bạn tự chứng minh điều sau:
"Trong mọi △ABC, ta luôn có tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1."
Trở lại câu hỏi:
Đặt u:=tanA2+tanB2 và v:=tanA2tanB2, với u>0 và 1>v>0. Vì △ABC không tù
nên u<2. Suy ra 0<u<2. Từ điều đã chứng minh suy ra:
tanC2=1−vu,
và khi đó:
VT:=tanA2+tanB2+tanC2+tanA2tanB2tanC2
=u+1−vu(1+v)
=u2+1−v2u
≥16u2+16−u416u (vì 0<v≤u24).
Suy ra:
VT≥−u4+16u2+1616u.
Vì 0<u<2 nên −u2−4u√3+12>8−8√3>0. Từ đó suy ra:
−u4+16u2+16=(u−2√3)2(−u2−4u√3+12)+160u√39≥160u√39.
Suy ra:
−u4+16u2+1616u≥10√39.
Từ tính chất bắt cầu của bất đẳng thức suy ra:
VT≥10√39.
Điều kiện để dấu "=" xảy ra là v=u24 và u=2√3; tương ứng với tanA2=tanB2=1√3. Hay
△ABC là tam giác đều.