a) Gọi $\rm O$ là tâm hình thoi $\rm ABCD$. Xét $\triangle \rm SBD$ cân có $\rm SO$ là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, từ đó suy ra dpcm
b) Gọi $\rm M$ là trung điểm của $\rm DC$. Trong tam giác đều $\rm SDC$ có $\mathrm{AM}=\frac{a\sqrt 3}{2}$. Mà $\mathrm{OM}=\frac a2\Rightarrow \mathrm{SO}=\frac{a\sqrt 2}2\Rightarrow \mathrm{AO}=\sqrt{x^2-\frac{a^2}2}\Rightarrow \mathrm {OB}=\sqrt{\frac{3a^2}2-x^2}$
$\Rightarrow \mathrm{V_{S.ABCD}=\frac 23SO.AO.BO}=\sqrt{(2x^2-a^2)(3a^2-2x^2)}.\frac{a\sqrt 2}{6}=\frac{a^3\sqrt 2}{6} \; (\star)$
Giả sử $x=ka$ thay vào, $(\star)$ ta đc $\sqrt{(2k^2-1)(3-2k^2)}=k^2$
Bình phương 2 vế và giải 1 ẩn theo $k^2$ ta thu đc $\left[\begin{array}{l} k=1\\ k=\sqrt{\dfrac 35} \end{array} \right.$
Vậy $x=a$ hoặc $x=\sqrt{\frac 35}a$