a) Ta sử dụng một bổ đề rất hay trong hình phẳng (dễ dàng chứng minh):
Cho tam giác ABC có M,N∈AC,AB và MN cắt trung tuyến AD ở P. Khi đó ta có:
ABAN+ACAM=2.ADAP
Áp dụng 2 lần trong tam giác ABD, ta được ABAM+2ADAN=3.AEAF
Với E∈BD sao cho 2→DE=→EB và F là giao điểm của AE&MN
⇒AEAF=43
Hơn nữa E,A cố định, do đó F cố định suy ra dpcm
b) Dễ thấy V′V=SMBCDNSABCD
Do đó ta chỉ cần chứng minh
23≤SMBCDNSABCD≤34⇔14≤SAMNSABCD≤13⇔12≤SAMNSABD≤23
⇔12≤AMAD.ABAM≤23
Đặt x=ADAN,y=ABAM, khi đó x,y≥1 và 2x+y=4
Ta cần chứng minh 32≤xy≤2
Tới đây có thể rút thế, chặn 2 đầu của x hoặc y và khảo sát hàm số.
Hoặc chọn các cách sau
Ta có xy=(2x+y)2−(2x−y)216≤(2x+y)28=2
Và xy−32=(y−1)(x−12)≥0
Mặc dù mang vẻ ngoài là hhkg nhưng thật ra là 2 câu đại số và hình phẳng trá hình rất hay.