BĐT max hay và khó

Question

a/ Cho

$a$ và

$b$ là

$2$ số thực dương. Chứng minh rằng:

$(a+b)^2(a^2+b^2)\geq8a^2b^2$

b/Cho

$x, y, z$ thỏa mãn

$x>y>z>0$ và

$x+y+z=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{8}{xz}+\frac{2}{y^3}$

Dark · Answer 1 · 12/17/2017 3:33:17 AM

Câu a dễ dàng chứng minh được rồi, từ câu a ta suy ra bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$

Áp dụng bđt trên ta có:

$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}\geq \frac{8}{(x-z)^2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{8}{(x-z)^2}+\frac{8}{xz}+\frac{2}{y^3}=8(\frac{1}{(x-z)^2}+\frac{4}{4xz})+\frac{2}{y^3}$

$\geq 8.\frac{(1+2)^2}{(x-z)^2+4xz}+\frac{2}{y^3}$ (BĐT B.C.S. cộng mẫu)

$=\frac{72}{(1-y)^2}+\frac{2}{y^3}$ (do

$x+y+z=1$ )

$=(\frac{72}{(1-y)^2}+162)+(\frac{2}{y^3}+54+54)-270$

$\geq \frac{216}{1-y}+\frac{54}{y}-270$ (BĐT Cauchy)

$=54.(\frac{4}{1-y}+\frac{1}{y})-270\geq 54.\frac{(2+1)^2}{1-y+y}-270$ (BĐT B.C.S. cộng mẫu)

$=216$

Dấu

$=$ có khi

$x=\frac{3+\sqrt{3}}{9};y=\frac{1}{3};z=\frac{3-\sqrt{3}}{9}$

1 Đáp án