Sử dụng công thức lượng giác $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$, ta có $I=2\int_0^{\frac {\pi}4}(3\sin x-4\sin^3x)\cdot\sin x \cdot \cos x{\rm d}x$
$=2\int_0^{\frac {\pi}4}(3\sin x-4\sin^3x)\cdot\sin x {\rm d}(\sin x)$
Đặt $t=\sin x$ với $t \in\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right]$
$I=2\int_0^\frac{\sqrt 2}2(3t^2-4t^4){\rm d}t$
$=2t^3-\frac{8t^5}{5} \Bigg|_0^{\frac{\sqrt 2}2}=\frac{3\sqrt 2}{10}$