Bất đẳng thức lớp 9

Question

Cho các số dương

$x,y,z$ thỏa mãn:

$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} =3$

Tìm min

$\frac{y^2.z^2}{x(y^2+z^2)} + \frac{z^2.x^2}{y(z^2+x^2)} + \frac{x^2.y^2}{z(x^2+y^2)}$

score 1 · Answer 1

Giả sử

$a=\frac{1}{x}$ ,

$b=\frac{1}{y}$ ,

$c=\frac{1}{z}$ và

$P=\frac{y^2z^2}{x\left ( y^2+z^2 \right )}+\frac{z^2x^2}{y\left ( z^2+x^2 \right)} +\frac{x^2y^2}{z\left ( x^2+y^2 \right )}$ .

Khi đó

$a,b,c>0$ và

$a^2+b^2+c^2=3$ . Đồng thời

$P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$ .

Sử dụng điều kiện đã cho để đánh giá số hạng thứ nhất của

$P$ và ta được

$\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a^2}{a\left ( b^2+c^2 \right )}=\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{2a^2\left ( b^2+c^2 \right )\left ( b^2+c^2 \right )}}\leq \frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{\left ( 2a^2+b^2+c^2+b^2+c^2 \right )^3}{27}}}$

$\leq \frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{8\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^3}{27}}}$

$\leq \frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{8.3^3}{27}}}$

$\leq\frac{a^2}{2}$ .

Suy ra

$\frac{a}{b^2+c^2}\leq\frac{a^2}{2}$ .

Chứng minh tương tự như trên và ta được

$\frac{b}{c^2+a^2}\leq\frac{b^2}{2}$ ,

$\frac{c}{a^2+b^2}\leq\frac{c^2}{2}$ .

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều và vận dụng điều kiện trên, ta được

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\leq \frac{3}{2}$ ,

hay

$P\leq \frac{3}{2}$ .

Điều kiện để

$P=\frac{3}{2}$ là

$a=b=c=1$ , tương ứng với

$x=y=z=1$ .

Hỏi	30-04-19 08:13 PM
Lượt xem	1475
Hoạt động	11-07-19 08:35 PM

Bất đẳng thức lớp 9

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức lớp 9

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan