Phương trình

Question

Giải phương trình :

$64x^6-112x^4+56x^2-7=2\sqrt{1-x^2}$

score 3 · Answer 1

Điều kiện:

$-1\le x\le 1$
Đặt

$x=\cos t$ , với

$t\in[0,\pi]$ . Dễ thấy

$\cos t=x\ne0$ .
Phương trình trở thành:

$64\cos^6t-112\cos^4t+56\cos^2t-7=2\sqrt{1-\cos^2t}$

$\Leftrightarrow 64\cos^7t-112\cos^5t+56\cos^3t-7\cos t=2\sin t\cos t$

$\Leftrightarrow \cos 7t=\sin 2t$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 7t=\frac{\pi}{2}-2t+2k\pi\\ 7t=2t-\frac{\pi}{2}+2k\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=\frac{\pi}{18}+\frac{2k}{9}\pi\\ t=\frac{-\pi}{10}+\frac{2k}{5}\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z})$

$\Rightarrow t\in\{\frac{\pi}{18}, \frac{5\pi}{18} , \frac{13\pi}{18} , \frac{17\pi}{18} , \frac{3\pi}{10} , \frac{7\pi}{10} \}$ vì

$t\in[0,\pi]$
Suy ra:

$x\in\{\cos\frac{\pi}{18}, \cos\frac{5\pi}{18} , \cos\frac{13\pi}{18} , \cos\frac{17\pi}{18} ,\cos \frac{3\pi}{10} ,\cos \frac{7\pi}{10} \}$

1 Đáp án