Bất đẳng thức lớp 9

Question

Cho

$x,y,z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn:

$x^2+y^2+z^2 \geq 3y$ . Tìm Min:

$A=\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{4}{(y+2)^2} + \frac{8}{(z+3)^2}$

score 0 · Answer 1

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si, ta thu được:

$x^2 + 1 \geq 2x$

$y^2 + 4 \geq 4y$

$z^2 + 1 \geq 2z$

Mà,

$3y \geq x^2 + y^2 + z^2$ , nên,

$3y + 6 \geq x^2 + 1 + y^2 + 4 + z^2 +1 \geq 2x + 4y + 2z$

Hay,

$6 \geq 2x + y + 2z$

Lại theo bất đẳng thức Cô-si, ta thu được:

$\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{x+1}$

$\frac{4}{(y+2)^2} + \frac{1}{4} \geq \frac{2}{y+2}=\frac{1}{\frac{y}{2}+1}$

$\frac{8}{(z+3)^2} + \frac{2}{4} \geq \frac{4}{z+3}$

Nên,

$A + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = A + 1 \geq \frac{1}{x+1} + \frac{1}{\frac{y}{2}+1}+\frac{4}{z+3}$

Theo bất đẳng thức cộng mẫu số Svaxo, ta có:

$A + 1 \geq \frac{(1+1+2)^2}{x+1+\frac{y}{2}+1+z+3}=\frac{16}{x+\frac{y}{2}+z+5}=\frac{32}{2x+y+2z+10} \geq \frac{32}{10+6}=2$

Vậy,

$A \geq 1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$x=1$ ;

$y=2$ và

$z=1$

1 Đáp án