$\star$ $\color{green}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x-8}}$$\star$ Đặt: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} =a \\ \sqrt[3]{x - 16} = b \\ \sqrt[3]{x - 8} = c \end{cases}$, ta có: $\begin{cases} a+b=c \; \; \; \; \; \; \; \; \; \color{red}{(1)} \\ a^3+b^3=2c^3 \; \; \color{red}{(2)} \end{cases}$
$\star \; (2) \Leftrightarrow a^3+b^3-2(a+b)^3=0 \; \; \; \; \; \color{red}{(3)}$ (do $a+b=c$ theo $(1)$)
$\star$ Nhận thấy $\color{red}{x=16}$ không phải là nghiệm của phương trình, do đó: $b\neq 0$, chia 2 vế của $\color{red}{(3)}$ cho $b^3$, ta được:
$\star \; (3) \Leftrightarrow t^3+1-2(t+1)^3=0$ (với $\color{purple}{t=\frac{a}{b}}$)
$\Leftrightarrow t^3+6t^2+6t+1=0$
$\Leftrightarrow (t+1)(t^2+5t+1)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-1 \Leftrightarrow \frac{a}{b}=-1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} = -\sqrt[3]{x-16} \Leftrightarrow x=8\\ t=\frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2} \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2} \times \sqrt[3]{x-16} \Leftrightarrow x=\frac{56 \pm 12\sqrt{21}}{7} \end{array} \right.$
$\star$ Kết luận: phương trình đã cho có nghiệm là: $\color{green}{{x=8;x=\frac{56 \pm 12\sqrt{21}}{7}.}}$