Lò xo 3 (thẳng đứng) dãn thêm một khoảng $\Delta x_{3}$ thì
lò xo 1 và 2 dãn thêm một khoãng $\Delta l_{1}$
Từ hình vẽ, ta có: $l_{1}=\frac{a}{sin\alpha}\Rightarrow
dl_{1}=-\frac{a}{sin^{2}\alpha}cos\alpha .d\alpha\Rightarrow
d\alpha=-\frac{dl_{1}sin^{2}\alpha}{a .cos\alpha}$
Lại có: $x_{1}=l_{1}.cos\alpha\Rightarrow dx_{1}=dl_{1}
.cos\alpha-l_{1}.sin\alpha .d\alpha$
Thay $d\alpha$ vào ta có:
$dx_{1}=dl_{1} .cos\alpha+l_{1}.sin\alpha \frac{dl_{1}sin^{2}\alpha}{a
.cos\alpha}$ (1)
Lại có: $l_{1}=\frac{a}{sin\alpha}$
Thay vào (1) ta có:
$dx_{1}=dl_{1} .cos\alpha+\frac{a}{sin\alpha}.sin\alpha
\frac{dl_{1}sin^{2}\alpha}{a .cos\alpha}$
$dx_{1}=dl_{1} .cos\alpha+\frac{sin^{2}\alpha}{cos\alpha}dl_{1}=2dl_{1}$
tại $\alpha=60^{o}$
Tại vị trí $\alpha=60^{o}$, dao động nhỏ nên có thể xem $dx_{1}=\Delta x_{1}$
và $dl_{1}=\Delta l_{1}$
$\Delta x_{1}=2\Delta l_{1}$
Xét điểm đồng quy của 3 lò xo:
$k\Delta x_{3}=2k\Delta l_{1}.cos\alpha=2k\frac{\Delta x_{1}}{2}.cos60^{o}=$
$\Rightarrow \Delta x_{3}=2k\frac{\Delta x_{1}}{2}.\frac{1}{2}=k\frac{\Delta
x_{1}}{2}$
hay $\Delta x_{1}=2\Delta x_{3}\Rightarrow \Delta x=\Delta x_{1} + \Delta
x_{3}=3\Delta x_{3}\Rightarrow \Delta x_{3}=\frac{\Delta x}{3}$
Xét lực tác dụng lên vật ($\Delta x_{3}$ là đoạn dãn thêm từ vị trí cân bằng
nên có thể bỏ qua trọng lực trong biểu thức)
$F=-k\Delta x_{3}=-k\frac{\Delta x}{3}$
Vậy. Tần số dao động nhỏ sẽ là:
$\omega=\sqrt{\frac{k}{3m}}$