gjai giup minh pai nay nha.thanks!

Question

Một con lắc đơn dao động tuần hoàn, trong quá trình dao động, lực căng cực đại lớn gấp 4 lần lực căng cực tiểu. Tại thời điểm vật qua vị trí mà lực căng của sợi dây lớn gấp 2 lần lực căng cực tiểu thì nó va chạm mềm với vật cùng khối lượng và chuyển động cùng chiều với tốc độ lớn gấp 2 lần. Tìm biên độ dao động của vật sau va chạm.

tiendat.tran.79 · Answer 1 · 12/30/2012 12:38:16 AM

Lực căng dây của khi dao động của con lắc đơn là

$T=mg(3cos\alpha-2cos\alpha_{0})$

Lực căng dây cực đại khi qua vị trí cân bằng gấp 4 lực cực tiểu khi qua vị trí biên

$3-cos\alpha_{0}=4cos\alpha_{0}$

Biên độ là $cos\alpha_{0}=\frac{1}{2}$ hay $\alpha_{0}=\pi/3$

Tai vị trí lực gấp đôi cực tiểu thì

$3cos\alpha-2cos\alpha_{0}=2cos\alpha_{0}$

$cos\alpha=2/3$

Lúc này vân tốc của vật là

$v^{2}=2gl(cos\alpha-cos\alpha_{0})$

Vì va chạm mềm nên từ bảo toàn động lượng ta tính được

$v’=\frac{mv+2mv}{2m}=\frac{3v}{2}$

Biên độ lúc sau sẽ là

$v’^{2}=2gl(cos\alpha-cos\beta)=\frac{9}{4}v^{2}=\frac{9}{4}2gl(cos\alpha-cos\alpha_{0}$

$\frac{9}{4}(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{2}{3}-cos\beta$
$cos\beta=\frac{7}{24}$

Biên độ mới là

$\beta\approx 73^{o}$

Long Nd · Answer 2 · 12/29/2012 10:41:18 PM

Lực căng dây:

$T=Pcos\alpha+m\frac{v^{2}}{l}$

Từ phương trình trên dễ dàng suy ra:
+ Lực căng cực tiểu là ở 2 biên
+ Lực căng cực đại là ở vị trí cân bằng (điểm thấp nhất)

Theo bài ra, gấp 4 lần tức là:

$4mgcos\alpha_{0}=mg+m\frac{v_{0}^{2}}{l}$

$\Rightarrow v_{0}^{2}=gl(4cos\alpha_{0}-1)$               (1)       ($\alpha_{0}, v_{0}$ là biên độ và vận tốc cực đại)

Lại có:

$\frac{mv_{0}^{2}}{2}=mgl(1-cos\alpha_{0})$

$\Rightarrow v_{0}^{2}=2gl(1-cos\alpha)$    (2)

Từ (1) và (2) ta tính được:

$cos\alpha_{0}=\frac{1}{2}$    hay   $\alpha_{0}=\frac{\pi}{3}$

$v_{0}=gl$

Tại vị trí vật có li độ $\alpha$, vận tốc $v$

Lực căng dây gấp 2 lần lực căng cực tiểu thì:

$2mgcos\alpha_{0}=mgcos\alpha+m\frac{v^{2}}{l}$

Thay $cos\alpha_{0}=1/2$ vào:

$mgl=mglcos\alpha+mv^{2}$    (1)

Áp dụng bảo toàn cơ năng:

$mgl(1-cos\alpha)=\frac{mv_{0}^{2}}{2}-\frac{mv^{2}}{2}$

$\Rightarrow mglcos\alpha=mgl-\frac{mv_{0}^{2}}{2}+\frac{mv^{2}}{2}$

Thay vào (1):

$mgl=mgl-\frac{mv_{0}^{2}}{2}+\frac{3mv^{2}}{2}$

$\Rightarrow \frac{3mv^{2}}{2}=\frac{mv_{0}^{2}}{2}$

$\Rightarrow v^{2}=\frac{v_{0}^{2}}{3}$

Sau va chạm mềm , vận tốc hệ vật là v'. Ta có:

$(m+m)v'=mv+m2v\Rightarrow v'=\frac{3}{2}v$

Phần động năng tăng thêm là:

$\Delta T=\frac{2mv'^{2}}{2}-\frac{mv^{2}}{2}=\frac{7}{4}mv^{2}=\frac{7}{12}mv_{0}^{2}=\frac{7}{6}\frac{mv_{0}^{2}}{2}=\frac{7}{6}E$

(E là năng lượng dao động trước va chạm)

Biên độ sau va chạm là $\beta$. Ta có:

$mgl(1-cos\beta)=(\frac{7}{6}+1)E=(\frac{7}{6}+1)mgl(1-cos\alpha_{0})=\frac{13}{12}mgl$

$\Rightarrow cos\beta=-\frac{1}{12}$

$\Rightarrow \beta=94.78^{o}$