Quay lại đáp án

Cách 1:Từ giả thiết suy ra: $abc(a+b+c)=ab+bc+ca$Đặt: $ab=x;bc=y;ca=z.$Bài toán trở thành:Cho $\left\{ \begin{array}{l} x,y,z>0\\ x+y+z=xy+yz+zx \end{array} \right..$CMR: $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq 27$Theo bác Hoder, ta có:$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^3$$\Rightarrow (x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq \frac{(x+y+z)^4}{x^2+y^2+z^2}$Ta cần c/m: $(x+y+z)^4\geq 27(x^2+y^2+z^2)$Mặt khác, từ giả thiết: $x+y+z=xy+yz+zx,$ ta có: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy+yz+zx=(x+y+z)(x+y+z-2)$ Do đó ta cần c/m: $(x+y+z)^4\geq 27(x+y+z)*x+y+z-2)$ $\Leftrightarrow (x+y+z)^3\geq 27(x+y+z)^3-54$Hiển nhiên ta có bất đẳng thức trên là đúng do theo bác $AM-GM:$ $(x+y+z)^3+27+27\geq 27(x+y+z)$$\Rightarrow$ đpcm!Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=1./$Note:

Cách 1:Từ giả thiết suy ra: $abc(a+b+c)=ab+bc+ca$Đặt: $ab=x;bc=y;ca=z.$Bài toán trở thành:Cho $\left\{ \begin{array}{l} x,y,z>0\\ x+y+z=xy+yz+zx \end{array} \right..$CMR: $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq 27$Theo bác Hoder, ta có:$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^3$$\Rightarrow (x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq \frac{(x+y+z)^4}{x^2+y^2+z^2}$Ta cần c/m: $(x+y+z)^4\geq 27(x^2+y^2+z^2)$Mặt khác, từ giả thiết: $x+y+z=xy+yz+zx,$ ta có: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy+yz+zx=(x+y+z)(x+y+z-2)$ Do đó ta cần c/m: $(x+y+z)^4\geq 27(x+y+z)*x+y+z-2)$ $\Leftrightarrow (x+y+z)^3\geq 27(x+y+z)^3-54$Hiển nhiên ta có bất đẳng thức trên là đúng do theo bác $AM-GM:$ $(x+y+z)^3+27+27\geq 27(x+y+z)$$\Rightarrow$ đpcm!Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=1./$Note: ( like để siêu thoát cho con thỏ)