Cách 1:Từ giả thiết suy ra: abc(a+b+c)=ab+bc+ca
Đặt: ab=x;bc=y;ca=z.
Bài toán trở thành:
Cho {x,y,z>0x+y+z=xy+yz+zx.
CMR: (x+y+z)(√x+√y+√z)2≥27
Theo bác Hoder, ta có:
(√x+√y+√z)2(x2+y2+z2)≥(x+y+z)3
⇒(x+y+z)(√x+√y+√z)2≥(x+y+z)4x2+y2+z2
Ta cần c/m:
(x+y+z)4≥27(x2+y2+z2)
Mặt khác, từ giả thiết: x+y+z=xy+yz+zx,
ta có: x2+y2+z2=(x+y+z)2−2xy+yz+zx=(x+y+z)(x+y+z−2)
Do đó ta cần c/m:
(x+y+z)4≥27(x+y+z)∗x+y+z−2)
⇔(x+y+z)3≥27(x+y+z)3−54
Hiển nhiên ta có bất đẳng thức trên là đúng do theo bác AM−GM:
(x+y+z)3+27+27≥27(x+y+z)
⇒ đpcm!
Đẳng thức xảy ra khi: a=b=c=1./
Note:
( like để siêu thoát cho con thỏ)