Bài toán

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $(d)$ lần lượt có phương trình: $(P): 2x - y - 2z - 2 = 0$; $(d): \frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$
Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $(d)$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

Đường thẳng (d) có VTCP $\overrightarrow u = ( - 1;2;1)$; PTTQ: $\left\{ \begin{array}{l}
2x + y + 1 = 0\\
x + z - 2 = 0
\end{array} \right.$

Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow n = (2; - 1; - 2)$

Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là: $\sin \alpha = \frac{{| - 2 - 2 - 2|}}{{3.\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$

Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cần tìm là $\cos \alpha = \sqrt {1 - \frac{6}{9}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Giả sử (Q) đi qua (d) có dạng: $m(2x + y + 1) + n(x + z -2) = 0 (m^2+ n^2 > 0)$
hay (2m + n)x + my + nz + m - 2n = 0

Vậy góc giữa (P) và (Q) là: $\cos \alpha = \frac{{|3m|}}{{3.\sqrt {5{m^2} + 2{n^2} + 4mn} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
hay $m^2 + 2mn + n^2 = 0 \Rightarrow (m + n)^2 = 0 \Rightarrow m = -n.$

Chọn m = 1, n = -1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y - z + 3 = 0

Bài toán

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài toán

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan