Bài 100364

Question

Cho tam giác cân

$ABC, AB = AC.$ Một điểm

$M$ thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

$ABC$ tại

$A$ (

$M$ không trùng với điểm

$A$ ).

$1.$ Tìm quỹ tích trọng tâm

$G$ và trực tâm

$H$ của tam giác

$MBC$ .

$2.$ Gọi

$O$ là trực tâm của tam giác

$ABC$ , hãy xác định vị trí của

$M$ để thể tích tứ diện

$OHBC$ đạt giá trị lớn nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 4:24:12 PM

$1.$ Kí hiệu

$d$ là đường thẳng vuông góc với

$(ABC)$ tại

$A, D$ là trung điểm

$BC$ . Ta thấy trọng tâm

$G$ nằm trên

$DM$ và chia

$DM$ theo tỉ số

$DG : DM$ =

$\frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {DG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DM} \Rightarrow G$ là ảnh của

$M$ trong phép vị tự tâm

$D$ , tỉ số

$\frac{1}{3}$ . Mà

$M$ chạy trên

$d$

$\Rightarrow G$ chạy trên đường thẳng

$d’$ là ảnh của

$d$ qua phép vị tự này. Như vậy quỹ tích

$G$ là đường thẳng vuông góc với

$(ABC)$ tại trọng tâm

$\Delta ABC$ .

Vì

$O$ là trực tâm

$\Delta ABC$ nên

$CO \bot AB$ . Mà

$CO \bot MA \Rightarrow CO \bot (MAB) \Rightarrow CO \bot MB$ . Nhưng

$H$ là trực tâm

$\Delta MBC$ nên

$CH \bot MB$ , do đó theo định lý

$3$ của đường thẳng vuông góc ta có

$MB \bot OH$ . Tương tự như vậy ta cũng chứng minh được:

$MC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {MBC} \right) \Rightarrow OH \bot HD \Rightarrow \widehat {DHO} = {90^0} \Rightarrow$ quỹ tích

$H$ là đường tròn đường kính

$DO$ vẽ trong mặt phẳng

$(d, D)$

$2$ : Dễ thấy

$\left( {MDA} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên đường cao

$HH’$ của

$\Delta HDO$ cũng là đường cao của hình chóp

$HBOC$ . Hình chóp này có đáy

$BOC$ cố định nên sẽ có thể tích lớn nhất

$\Leftrightarrow HH'$ lớn nhất

$\Leftrightarrow HH' = \frac{1}{2}DO\Leftrightarrow HDO$ là tam giác vuông cân

$\Leftrightarrow \widehat {HDO} = {45^0}$

$\Leftrightarrow \Delta AMD$ vuông cân ở A

$\Leftrightarrow AM = AD$ . Vậy muốn tứ diện

$OHBC$ có thể tích lớn nhất, cần chọn

$M$ trên

$d$ sao cho

$AM = AD$ .

Bài 100364

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100364

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan