Bài 100422

Question

Cho hàm số $ y = \frac{(m-1)x + m}{x - m} $ $(C_m) $. Cho điểm $ M(x_0;y_0) \in $ $ \left( {{C_3}} \right) $ . Tiếp tuyến của $ (C_3) $ tại $M$ cắt các tiệm cận của $(C)$ tại các điểm $A$ và $B$. Chứng minh diện tích tam giác $AIB$ không đổi, $I$ là giao của $2$ tiệm cận. Tìm $M$ để chu vi tam giác $AIB$ nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

Điểm $ M \in \left( {{C_3}} \right):y = 2 + \frac{9}{{x - 3}} \Rightarrow M\left( {3 + \alpha ;2 + \frac{9}{\alpha }} \right) $
Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: $ \Delta :y = - \frac{9}{{{\alpha ^2}}}x + 2 + \frac{{18}}{\alpha } + \frac{{27}}{{{\alpha ^2}}} $
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên: $ A\left( {2\alpha + 3;2} \right);B\left( {3;2 + \frac{{18}}{a}} \right) $
Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên $ I\left( {3;2} \right) $
+ $ \Delta IAB $ vuông tại I nên: $ {S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}.IA.IB = \frac{1}{2}.\left| {2\alpha } \right|.\left| {\frac{{18}}{\alpha }} \right| = 18 $ (đvdt)
+ Chu vi tam giác IAB là:
$ p = IA + IB + AB = \left| {2\alpha } \right| + \left| {\frac{{18}}{\alpha }} \right| + \sqrt {4{\alpha ^2} + {{\left( {\frac{{18}}{\alpha }} \right)}^2}} $ $ \ge 2\sqrt {\left| {2\alpha } \right|\left| {\frac{{18}}{\alpha }} \right|} + \sqrt {2\sqrt {4{\alpha ^2} . {{\left( {\frac{{18}}{\alpha }} \right)}^2}} } = 12 + \sqrt {2.2.18} = 12 + 6\sqrt 2 $
Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {2\alpha } \right| = \left| {\frac{{18}}{\alpha }} \right| \Leftrightarrow \alpha = \pm 3 $ $ \Leftrightarrow M\left( {6;5} \right) $ hoặc $ M\left( {0; - 1} \right) $

Bài 100422

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100422

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan