Bài 100651

Question

Cho mặt phẳng

$(P)$

$x + y + z - 1 = 0$ và

$2$ điểm

$A\left( {1, - 3,0} \right);B\left( {5, - 1, - 2} \right)$

$1$ . Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua

$A, B$ cắt mặt phẳng

$P$ tại một điểm

$I$ thuộc đoạn

$AB$ . Tìm tọa độ điểm

$I$ .

$2$ . Tìm trên mặt phẳng

$(P)$ điểm

$M$ sao cho

$| MA – MB |$ có giá trị lớn nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/24/2012 3:13:01 PM

$1$ . Đường thẳng qua

$A, B$ có vecto chi phương

$(2, 1, - 1)$ nên có phương trình

$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{{ - 1}} = t \Rightarrow x = 2t + 1,y = t - 3,z = - t$ .
Đường thẳng đó cắt

$(P)$ khi

$t$ thỏa mãn

$\left( {2t + 1} \right) + \left( {t - 3} \right) + \left( { - t} \right) - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2}$
Vậy giao điểm

$I$ là

$\left( {4, - \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}} \right)$ Vì

${x_A} < {x_1} < {x_B}$ nên

$I$ thuộc đoạn

$AB$

$2$ . Gọi

$A’$ là điểm đối xứng với

$A$ qua mặt phẳng

$(P)$ ( tức là

$(P)$ là mặt phẳng trung trực của

$AA’$ ). Khi đó với mọi

$M$ thuộc

$(P)$ , đều có

$MA – MB = MA’ – MB$ .
Do

$I$ thuộc đoạn

$AB$ nên

$A, B$ nằm về

$2$ phía của

$(P)$ do đó

$A’, B$ nằm về cùng một phía của

$(P)$ . Với mọi

$M$ thuộc (

$P)$ thì

$MA’B$ thường là một tam giác, do đó

$| MA’ – MB |$

$\le A’B$ và dấu đẳng thức xảy ra khi

$M, A’ , B’$ thẳng hàng và

$M$ nằm ngoài đoạn

$AB$ .
Khi đó

$M$ là giao điểm của đường thẳng

$A’B$ và

$(P)$ và khi đó

$| MA – MB | = | MA’ – MB |$ đạt giá trị lớn nhất.
Đường thẳng

$\left( \Delta \right)$ qua

$A$ và vuông góc với

$(P)$ có phương trình

$x = t + 1,,y = t - 3,z = t$ . Đường thẳng này cắt

$(P)$ tại

$H$ khi

$t$ thỏa mãn

$\left( {t + 1} \right) + \left( {t - 3} \right) + t - 1 = 0$

$\Rightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2, - 2,1} \right)$ . Vì

$H$ là trung điểm của

$AA’$ nên

$A’ ( 3, -1, 2)$ .
Đường thẳng qua

$B, A’$ có phương trình là

$x = 3 + t,y = - 1,z = 2 - 2t$ .
Giao điểm của đường thẳng

$A’B$ và

$(P)$ là điểm

$H(x, y, z)$ ứng với

$t$ thỏa mãn:

$\left( {3 + 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( {2 - 2t} \right) - 1 = 0 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow M\left( {6, - 1, - 4} \right)$

Bài 100651

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100651

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan