Bài 100850

Question

Xét các hàm số cho dưới đây, hàm số nào có tính chất tuần hoàn. Trong trường hợp hàm số tuần hoàn, hãy xác định chu kì của hàm số ấy.
a)

$y=\sin 3x$
b)

$y=x+\cos x$

Administrator · Answer 1 · 4/25/2012 2:39:59 PM

a) Xét hai yêu cầu của hàm số tuần hoàn đối với hàm số

$y=\sin 3x$ . Ta thấy: Tập xác định của hàm số là

$D=R$ , mỗi số

$x\in R$ thì

$x-T\in R$ và

$x+T\in R$ với mọi số

$T>0$ .
Ta có

$\sin 3x=\sin (3x+2\pi)=\sin 3(x+\frac{2\pi}{3})$ .
Như vậy nếu đặt

$T=\frac{2\pi}{3}$ , ta có

$\sin 3(x+T)=\sin 3x$ .
Hàm số

$y=\sin 3x$ là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là

$\frac{2\pi}{3}$ .
Thật vậy, giả sử có số

$T$ sao cho

$0<T<\frac{2\pi}{3}$ thỏa mãn:

$\sin 3(x+T)=\sin 3x, \forall x\in D$

$\Leftrightarrow \sin 3(x+T)-\sin 3x=2\cos \frac{3(x+T)+3x}{2}\sin \frac{3(x+T)-3x}{2}=0$

$\Leftrightarrow 2\cos 3(x+\frac{T}{2})\sin \frac{3T}{2}=0, \forall x\in D$ .
Chọn

$x=-\frac{T}{2}$ , ta được

$2\cos 0.\sin \frac{3T}{2}=0\Leftrightarrow \frac{3T}{2}=0$ hoặc

$\frac{3T}{2}=\pi$

$\Leftrightarrow T=0$ hoặc

$T=\frac{2\pi}{3}$ trái giả thiết

$0<T<\frac{2\pi}{3}$ .
Vậy

$T=\frac{2\pi}{3}$ là chu kì của hàm số

$\sin 3x$ .
Ghi chú: Có thể chứng minh được rằng: " Nếu hàm số

$y=f\left ( x \right )$ tuần hoàn với chu kì

$T>0$ và

$a$ là hằng số thì hàm số

$y=f\left ( ax \right )$ tuần hoàn với chu kì

$\frac{T}{|a|}$ . Chẳng hạn, hàm số

$y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì

$2\pi$ thì hàm số

$y= \cos 5x$ tuần hoàn với chu kì

$T=\frac{2\pi}{5}$ . Hàm số

$y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì

$\pi$ thì hàm số

$y=\tan 7x$ là hàm số tuần hoàn có chu kì

$\frac{\pi}{7}$ .
b) Giả sử

$f\left ( x \right )=x+\cos x$ tuần hoàn với chu kì là

$T>0$ thì với mọi

$x\in D$ ta phải có:

$f\left ( x+T \right )=f\left ( x \right )\Leftrightarrow x+T+\cos (x+T)=x+\cos x$

$\Leftrightarrow T+\cos (x+T)=\cos x \forall x$ (1)
Trong (1) cho

$x=0$ , ta được :

$T+\cos T=1$ (*)
Trong (1) cho

$x=\pi$ , ta được :

$T+\cos (\pi+T)=-1$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra:

$T+T+\cos T+\cos (\pi+T)=2T=0$

$\Rightarrow T=0$ trái với giả thiết

$T>0$ .
Vậy hàm số

$y=x+\cos x$ không tuần hoàn

Bài 100850

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100850

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan