Bài 101004

Question

Cho hình chữ nhật

$ABCD$ (

$AC$ là đường chéo) và

$ABEF$ (

$AE$ là đường chéo) không cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện:

$AB = a;AD = AF = a\sqrt 2$ . Đường thẳng

$AD$ vuông góc với đường thẳng

$BF$ . Gọi

$HK$ là đường vuông góc chung của

$AC$ và

$BF$ (

$H$ thuộc

$AC$ ,

$K$ thuộc

$BF$ ).

$1$ . Gọi

$D$ là giao điểm của đường thẳng

$DF$ với mặt chứa

$AC$ và song song với

$BF$ . Tính tỉ số

$\frac{{DI}}{{DF}}$

$2$ . Tính độ dài

$HK$

$3$ . Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

$ABHK$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 2:43:10 PM

$1$ . Gọi

$E’$ là giao điểm của đường thẳng

$EF$ và đường thẳng đi qua

$A$ song song với

$BF$ . Khi đó mặt phẳng

$(ACE’)$ chứa

$AC$ và song song với

$BF$ nên giao điểm

$I$ của

$E’C$ với

$DF$ là giao điểm của

$DF$ với mặt phẳng

$(ACE’)$ . Vì

$E’F = DC$ nên

$ID = IF$ hay

$ID = IF = 1$

$2$ . Do giả thiết

$AC$ vuông góc với

$BF$ nên mặt phẳng qua

$BF$ cắt vuông góc đường thẳng

$AC$ tại điểm

$H$ cần tìm. Vậy

$H$ là hình chiếu vuông góc của

$B$ xuống đường thẳng

$AC$ .
Đường thẳng

$BH$ cắt

$AD$ tại

$J$ thì các tam giác

$ABJ$ ,

$BCA$ đồng dạng nên

$\frac{{{\rm{A}}J}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BC}}$ thì

${\rm{A}}J = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Vậy

$J$ là trung điểm của

$AD$ và

$H$ là trọng tâm của tam giác

$ABD$ .
Ta có

$B{J^2} = B{A^2} = {\rm{A}}{J^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}$ nên

$BJ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2};BH = \frac{2}{3}BJ = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

$FJ$ vuông góc với

$AC$ và vuông góc với

$AB$ nên

$FJ$ vuông góc với

$AD$ . Vậy

$AFD$ là tam giác đều và

$FJ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Do

$BJ = FJ, BJ$ vuông góc

$FJ$ nên

$BFJ$ vuông góc tại

$J$ . Điểm

$K$ cần tìm là hình chiếu vuông góc của

$H$ xuống

$BF$ nên từ đó có:
Tam giác

$BHK$ vuông cân tại

$K$ ,

$HK = \frac{{BH}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$3$ . Gọi

$r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

$ABHK$ thì

$r = \frac{{3V}}{S}$ ,

$V$ là thể tích khối tứ diện,

$S$ là tổng diện tích các mặt của nó. Ta có

$V = \frac{1}{3}AH.S_{\Delta BHK} = \frac{1}{3}.\frac{{AC}}{3}.S_{\Delta BHK}= \frac{{a\sqrt 3 }}{9}\left( {\frac{1}{2}H{K^2}} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{54}}$

$S_{\Delta AHK}= \frac{1}{2}AK.HK = \frac{{{a^2}}}{6};S_{\Delta ABK} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABF} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}$

$S_{\Delta ABH}= \frac{1}{2}AH.BH = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}$
Vậy

$S = 2\frac{{{a^2}}}{6} + 2\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{3}$ , từ đó

$r = \frac{{a\sqrt 3 }}{{6\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}$

Bài 101004

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101004

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan