Bài 101239

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ , cho mặt cầu

$(S)$ và mặt phẳng

$(P)$ có phương trình là:

$(S):x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z + 5 = 0 ;(P):2x + 2y - z + 16 = 0$ .
Điểm

$M$ di động trên

$(S)$ và điểm

$N$ di động trên

$(P)$ . Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng

$MN$ . Xác định vị trí của

$M, N$ tương ứng.

score 0 · Answer 1

Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và có bán kính R = 3.
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P):

$d = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 2.\left( { - 1} \right) - 3 + 16} \right|}}{3} = 5 \Rightarrow d > R$ .
Do đó (P) và (S) không có điểm chung.Do vậy, min MN = d -R = 5 -3 = 2.
Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0.
Dễ thấy

$N_0$ là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và

$M_0$ là giao điểm của đoạn thẳng

$IN_0$ với mặt cầu (S).
Gọi

$\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của

$\Delta$ và (P).
Đường thẳng

$\Delta$ có vectơ chỉ phương là

${\overrightarrow {n _P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$ và qua I nên có phương tŕnh là

$\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t\\ y = - 1 + 2t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\;\left( {t \in R} \right)$ .
Tọa độ của

$N_0$ ứng với t nghiệm đúng phương trình:

$2\left( {2 + 2t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {3 - t} \right) + 16 = 0 \Leftrightarrow 9t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{{15}}{9} = - \frac{5}{3}$ .
Suy ra