Bài 101244

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ , cho mặt phẳng

$(P)$ và đường thẳng

$(d)$ lần lượt có phương trình:

$(P): 2x - y - 2z - 2 = 0; (d)$ :

$\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$ .
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng

$(d)$ , cách mặt phẳng

$(P)$ một khoảng bằng

$2$ và cắt mặt phẳng

$(P)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng

$3$ .

score 0 · Answer 1

Đường thẳng (d) có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l} x = - t\\ y = - 1 + 2t\\ z = 2 + t \end{array} \right.;{\rm{ }}t \in R$
Gọi tâm mặt cầu là I. Giả sử

$I(-t; -1 + 2t; 2+ t) \in d$ .
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:

$d(I;(P) ) = \frac{{| - 2t + 1 - 2t - 4 - 2t - 2|}}{3} = \frac{{|6t + 5|}}{3} = 3\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{2}{3}\\ t = - \frac{7}{3} \end{array} \right.$
Vậy có hai tâm mặt cầu:

$I_1\left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right) ;I_2\left( {\frac{7}{3}; - \frac{{17}}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu có bán kính là R = 5.
Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn đề bài có phương trình là: