Bài 101260

Question

Cho mặt cầu:

$x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 2y + 26z - 113 = 0$ và hai đường thẳng

$(d_1):\frac{x + 5}{2} = \frac{y - 1}{ - 3} = \frac{z + 13}{2}$

$(d_2):\frac{x + 7}{3} = \frac{y + 1}{ - 2} = \frac{z - 8}{0}$ . Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với

$(S )$ và song song với

$(d_1)$ và

$(d_2)$

score 0 · Answer 1

(d1) có véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow {{u_1}} = (2, - 3,2)$ và (d2) có véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow {{u_2}} = (3, - 2,0)$
Do hai véc tơ

$\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ không cộng tuyến, mà (d1) và (d2) song song với tiếp diện (P) của (S ), vì lẽ ấy

$\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ là một cặp véc tơ chỉ phương của (P).
Nói cách khác

$\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&2\\ { - 2}&0 \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ 0&3 \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}\\ 3&{ - 2} \end{array}} \right|} \right) = (4,6,5)$ là véc tơ pháp tuyến của (P)
Vì lẽ ấy tiếp diện (P) có dạng

${\rm{(P):4}}x + 6y + 5z + D = 0$
Viết lại (S ) dưới dạng

${(x - 5)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 13)^2} = 308$
Suy ra (S ) có tâm tại I(5,-1,-13) và bán kính

$R = \sqrt {308}$
Từ đó suy ra phương trình sau để xác định D

$d(I;(P))=R\Leftrightarrow \frac{{\left| {20 - 6 - 65 + D} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = \sqrt {308} \Leftrightarrow \left| {D - 51} \right| = 154 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {D = 205}\\ {D = - 103} \end{array}} \right.$
Vậy có hai tiếp diện cần tìm